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La campana perdida de Gauss

Un maestro manda un ejercicio a sus pequeños alumnos de siete años con la idea de mantenerlos ocupados mientras él se dedica a otra tarea. Se trata de calcular la suma de todos los números del 1 al 100: 1+2+3+4+… y así sucesivamente hasta 100. La clase queda en silencio cuando los niños se ponen manos a la obra, pero no pasa ni un minuto y ya hay uno que parece estar en babia. ¿Por qué no trabajas?, le pregunta el maestro. Es que ya he terminado – dice el crío -, la suma de todos los números del 1 al 100 es 5050. Los hechos ocurrieron a finales del siglo XVIII y el niño de la historia es Carl Friedich Gauss.

El pequeño Gauss, antes de comenzar a sumar mecánicamente como habían hecho sus compañeros, se paró a reflexionar sobre el problema. En seguida se dio cuenta de una curiosa propiedad: la suma del primer y último término de la serie (1+100=101) era igual a la suma del segundo y el penúltimo (2+99=101) y así sucesivamente:

1 , 2 , 3 , 4 . . . . . . . . . 97 , 98 , 99 , 100

1+100 = 2+99 = 3+98 = 4+97 = … = 101

Para tener el resutado final, se necesita repetir esta suma 50 veces, porque el último par a sumar es el 50+51. Es decir, el resultados será 50 veces 101, o 5050.

El maestro entendió que tenía un alumno especialmente dotado para las matemáticas y no dudó en hablar con sus padres para que le permitieran recibir clases complementarias de esta materia después de las clases ordinarias. Su talento también llegó a oídos del duque de Brunswick, quien pagó los estudios posteriores del joven Gauss, que de otro modo no podría haber continuado en la escuela porque su famila carecía de medios. De haber vivido hoy, Gauss no hubiera necesitado la ayuda de ningún duque para seguir estudiando. Sin embargo, quizás en la escuela, coloreando fichas, nadie hubiera descubierto su talento.

A Gauss se le conoce como Príncipe de las matemáticas, porque sus trabajos en este campo fueron muy numerosos e increíblemente brillantes. Una de sus contribuciones es la curva de distribución normal, también llamada gaussiana o campana de Gauss. La gaussiana representa la distribución de numerosos fenómenos aleatorios, humanos o naturales. Por ejemplo, la estatura, el coeficiente intelectual, los errores en las medidas de un experimento, el tamaño de los tornillos fabricados con una máquina o el peso de los paquetes de harina envasados en un molino, siguen una distribución normal.

Curva de distribución normal en torno a la media de desviación. (Figura extraída de la wikipedia).

Curva de distribución normal en torno a la media, μ, de desviación σ. (Figura extraída de la wikipedia).

La distribución normal tiene algunas propiedades interesantes. Si a cada uno de los valores de una distribución, le restamos el valor medio, elevamos al cuadrado cada una de estas diferencias, calculamos su suma y dividimos el resultado entre el número de valores, obtenemos una cantidad llamada ‘varianza’. La raíz cuadrada de la varianza es la desviación típica, o desviación estándar, un valor que da cuenta de la dispersión de los datos respecto a la media y que se suele denotar con la letra griega sigma (σ). Pues bien, en una distribución normal, el 68.2% de los valores se encuentran a una desviación estándar de la media (es la región pintada de azul oscuro en la figura). Es complicado dar definiciones precisas de conceptos tan complejos como la inteligencia o la capacidad de aprendizaje pero, a grandes rasgos, podemos decir que un 68.2% de los estudiantes tienen capacidades promedio dentro de una sigma. La educación escolar está diseñada fundamentalmente para atender a esta mayoría. Sin embargo, hay un 31.8% de escolares fuera de esta “normalidad”. Si en el año 2012 había unos 290.000 niños escolarizados en Canarias en los niveles de infantil y primaria, podemos decir que aproximadamente 92.000 niños se alejaban de la media en más de una desviación estándar. De ellos, más de 12.000 se encontraban entre dos y tres  desviaciones estándar. Incluso en los casos extremos, en las alas de la campana de Gauss, hay una población lo suficientemente importante como para que su presencia no pase desapercibida en las escuelas. Así, en Canarias en el año 2012 tuvo que haber unos 290 escolares cuyas capacidades eran más de tres desviaciones estándar menores que la media y otros tantos con capacidades más de tres sigmas mayores que la media. Este último quizás era el caso de Gauss. ¿Donde están todos estos niños?

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Hacerse preguntas

Me ha gustado esta conferencia del divulgador de las matemáticas argentino, Adrian Paenza, que he encontrado en la página de microsiervos:

Entre otras cosas, nos habla de la importancia que tiene para el aprendizaje, y para la vida, el hacerse preguntas, el encontrar problemas que resolver. En el colegio, nos dice, a uno le empiezan a dar respuestas a preguntas que no se hizo. Esto es grave, porque en la vida primero vienen los problemas y después las soluciones. Añado yo que la escuela generalmente tampoco responde a las preguntas que uno se hace. Al final nos acostumbramos a no preguntar, quizás porque al mismo tiempo tampoco estamos dispuestos buscar respuestas, a escuchar al otro y a pensar en cuestiones que se salen del molde. Yo siempre he tenido miedo a preguntar. Si tengo dudas sobre algún tema, me las guardo hasta que llega un día en el que pienso que ya es demasiado tarde, porque ya a esas alturas – sean cuales sean las alturas en cuestión – ya debería saber las respuestas. Tenía un profesor que para animar a los alumnos a preguntar sin miedo al ridículo, decía que mejor parecer tonto un minuto que serlo toda la vida. Pues bien, yo a veces acabo siendo tonta toda la vida, muy a mi pensar.

El miedo al ridículo es el enemigo del conocimiento. Pero somos muy dados a ridiculizar y tenemos miedo a que nos ridiculicen. Esta mañana he dado una charla de divulgación. El poco público que había era totalmente ajeno al tema tratado, todos adultos excepto dos niños en primera fila acompañados del que parecía ser el padre de al menos uno de ellos, no sé si de los dos. Al haber poca gente y ser la sala pequeña, la charla transcurría de manera bastante distendida, y yo animaba a la gente a preguntar. Los más activos con diferencia eran los críos, de diez y ocho años, según me dijeron después. Lo más increíble es que el adulto, en lugar de animar a hablar a los pequeños – que era evidente que estaban muy excitados y tenían ganas de participar -, los mandaba a callar porque supuestamente me estaban molestando, según les decía. Yo no paraba de repetir con la mayor vehemencia de que fui capaz, que era estupendo que preguntasen y que además estaban saliendo temas interesantes y que estaba todo bien, pero el tipo no paraba de reñirles y hasta amenazó con sacar a los chiquillos de la sala, montando una escena bastante desagradable. ¿Por qué este miedo a ponerse en evidencia? ¿Por qué pensar que mostrar la propia ignorancia y querer ponerle remedio es vergonzoso?

Una posible respuesta es que aún no hemos aprendido a ver el conocimiento como tal, sino como un vestido que hay ponerse para a aparentar. Y en la apariencia no caben las preguntas. Pero en realidad la ciencia no es otra cosa que plantear las preguntas para las respuestas que nos da la naturaleza. Digo yo.

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Computación mecánica digital

He descubierto una máquina que me tiene fascinada. Se llama Digi-Comp II y fue un juguete educativo comercializado en los años sesenta. En el siguiente vídeo se muestra su funcionamiento con una reproducción a mayor escala que el original:

Aquí donde la ven, Digi-Comp II funciona de manera análoga a un ordenador. Con ella se pueden realizar muchas operaciones aritméticas, como con una calculadora, aunque de forma mecánica en lugar de electrónica. La máquina fue concebida para mostrar cómo funcionan los circuitos digitales con los que los ordenadores realizan operaciones aritméticas binarias. La velocidad de cálculo de esta simulación mecánica es lógicamente muchísimo menor que la de cualquier dispositivo electrónico (¡en el ejemplo del vídeo, se necesitan dos minutos y medio para multiplicar 3×13!) pero esto hace que podamos seguir el proceso paso por paso, además de que ver caer las bolitas es apasionante por sí mismo.

Para comprender cómo funciona es necesario conocer primero los números binarios. El sistema de numeración binario trabaja en base 2 en lugar de en base 10. Así, si en los números decimales, de derecha a izquierda, tenemos unidades (100), decenas (101), centenas (102)… en el binario esas posiciones corresponderán a 20,21, 22… Por ejemplo, el número binario 101 equivale al 5 decimal (1×20+0x21+1×22) y el binario 1101 al 13 decimal (1×20+0x21+1×22+1×23).

Los números binarios se suman de la misma manera a como nos enseñaron en el colegio con los número de toda-la-vida, pero teniendo en cuenta que ahora sólo hay dos cifras o dos bits. Por ejemplo, podemos hacer 5+13 así:

Screen shot 2012-12-05 at 2.15.00 AMO sea, de derecha a izquierda: uno más uno es cero y me llevo uno; cero más cero, cero, más uno que me llevo, uno; uno más uno es cero y me llevo uno; uno más el uno que me llevo es cero y me llevo uno; y finalmente uno que me llevo, uno. El resultado es 10010 que equivale a 18 en el sistema decimal.

Podemos entonces escribir las reglas básicas de la suma como:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=0 (y 1 de ‘acarreo’)

De donde vemos que un dispositivo que sume necesita tener un bit para la suma de los dos bits de entrada y otro bit que represente el acarreo (lo que ‘me llevo’) generado por la suma. Si llamamos A y B a las entradas, S a la suma y C al acarreo, podemos construir una tabla con todos los casos de la suma de este modo:

Screen shot 2012-12-05 at 2.10.09 AM

A la función C se le llama también ‘AND’ (digamos que algo sólo es verdad si las entradas son verdad simultáneamente), mientras que la S es un operador conocido como ‘o exclusivo’ o ‘XOR’. En definitiva, se puede sumar combinando los operadores lógicos ‘AND’ y ‘XOR’. Ahora sólo faltaría implementar estas funciones, por ejemplo, con circuitos electrónicos o mecánicos.

He hecho un dibujo – a mano – mostrando un mecanismo que funcionaría como una puerta XOR. Imaginemos que tenemos un canal, que se bifurca y se vuelve a juntar, por el que puede circular una bolita. A la entrada y salida de las bifurcaciones ponemos dos pequeñas clavijas en forma de ‘L’ que podemos cambiar de posición haciéndolas girar sobre un pivote. Yo he pintado de diferente color cada una de las dos posiciones que pude adoptar la misma clavija para diferenciar la que tomaré como 0 (azul) de la 1 (roja). La salida será 1 si la bolita llega al recipiente situado al final, S, o 0  cuando no llega. Si ambas clavijas están en la posición 0 (dibujo I) la bolita no puede llegar al final porque quedaría retenida en B. Si abro el paso en B, sí podría hacer el recorrido completo y lo mismo ocurriría poniendo A a 1 y dejando B en su posición original (dibujos II y III). Sin embargo, moviendo las dos clavijas a la vez, la bolita quedará de nuevo atrapada (dibujo IV).

Diagrama casero de la función XOR.

Diagrama casero de la función XOR. Se puede ampliar pinchando sobre la imagen.

Así, se podría hacer un circuito combinando varias funciones lógicas. Una vez hecha la suma, se puede por ejemplo multiplicar como sucesión de sumas. Al final, se puede combinar todo para tener una auténtica máquina calculadora, como Digi-Comp II, cuyo esquema, sacado del manual original que se puede descargar aquí, incluyo a continuación (como siempre, se puede ver más grande pinchando sobre la figura).

Digi-compii

Lógicamente, trabajando con una máquina así, no podemos manejar números muy grandes. En esta caso el acumulador tiene 7 bits por lo que podremos representar 128 números (27), del 0 (0000000) al 127 (1111111). Si el resultado de la operación fuera mayor, se produciría un ‘overflow‘.

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Matemáticas y poesía

Decía el físico Paul Dirac que cuando trabajas en ciencia tienes que escribir sobre cosas que nadie sabe con palabras que todo el mundo es capaz de entender, mientras que al escribir poesía se debe expresar algo que todo el mundo sabe con palabras que nadie entiende. Aunque la broma está en afirmar que no hay encuentro posible entre la ciencia y la poesía, creo que Dirac hace exactamente lo contrario al reconocer que ambas se valen de la naturaleza metafórica del lenguaje y que, por tanto, están íntimamente relacionadas.

Decía el poeta Federico García Lorca (casualmente hoy se cumplen 76 años de su muerte), que poesía es la unión de dos palabras que uno nunca supuso que pudieran juntarse, y que forman algo así como un misterio. Y es que un verso es como una ecuación. Como en la ecuación, todo tiene que encajar, sus términos no se pueden alterar o suprimir – a menos que se sigan ciertas reglas y siempre manteniendo el cuerpo que le da sentido -. El significado de la ecuación tiene que penetrar en las profundidades del pensamiento y permanecer en la memoria y tiene que evocar otras relaciones. Esto es precisamente un verso: una pieza del lenguaje – que forma un misterio – formulada de manera única y precisa, que tiene que ser necesariamente como lo ha concebido el poeta.

Pensemos en un verso que nos conmueva: No hay extensión más grande que mi herida“, de Miguel Hernández, por ejemplo. Estas ocho palabras forman un todo y transmiten muchísimo más que expresiones como “mi herida es muy grande” o “sufro tanto como si tuviera una herida enorme”, aunque podría parecer que la última formulación explica más claramente el estado de ánimo del autor. Ni siquiera movilizando algún recurso poético para escribir algo del tipo “ni el mar ni el universo son más grandes que mi herida” es fácil alcanzar, si quiera mínimamente, la fuerza del verso de Miguel Hernández (el mío es un verso horrible, de hecho). Al profesor que recuerdo con más cariño de mi época escolar, es al que tuve en Literatura de 2º de BUP. A estas alturas ya no me acuerdo de su nombre pero no se me borra la clase que dedicó íntegramente a comentar el verso “Tus campos rompan tristes volcanes“, otro maravilloso ejemplo del poder de la palabra: la amenaza “espero que exploten unos volcanes y acaben con todos ustedes” no sobrecoge tanto como la de la endecha popular. Y es que los poetas son capaces de formar algo así como un misterio. Es más, no es que la poesía adorne los pensamientos, es que en ocasiones es el único medio de compartirlos. Porque hay cuestiones tan complejas que no queda más remedio que apelar a la poesía, y así es frecuente que la gente responda “no tengo palabras” cuando se le pregunta por un hecho que los ha sobrecogido o emocionado especialmente. Del mismo modo, las matemáticas no adornan las teorías científicas sino que están en su misma esencia.

Hay muchos ejemplos de matemáticos poetas y viceversa. Nicanor Parra (Premio Cervantes del 2011) es físico, matemático y poeta (antipoeta, diría él). A él se debe la ecuación canónica de la poesía occidental – más bien la igualdad-, que es la siguiente: (14+8)/2 = 11 (la versión que viene en el artículo que he enlazado es incorrecta porque le falta un paréntesis). El poeta explica la expresión del siguiente modo en una entrevista: “los versos de 14 sílabas corresponden al mester de clerecía, el de Gonzalo de Berceo. Yo [el periodista] le digo que los alejandrinos también pueden contarse como dos versos de 7, pues los de 14 casi siempre tienen un cesura en el medio. Parra está de acuerdo, pero la cosa no cambia, 7 + 7 = 14. A este se le suma el octosílabo de las coplas y de los romances, el mester de juglaría, la poesía popular. La división por dos de estos dos tipos de versos canónicos da la medida intermedia, la perfecta, que no es culta ni popular: el endecasílabo. El verso típico del soneto italiano, provenzal, castellano…”

Otro poeta matemático es Raymond Queneau a quien se le ocurrió escribir 10 sonetos y reunirlos en un libro donde cada uno estaba impreso en una página recortada a su vez en 14 trozos, uno por cada verso. La idea era combinar los versos para componer diferentes nuevos sonetos. Tantos como 1014: hay 10 posibilidades para el primer verso, diez para el segundo, diez para el tercero… y así hasta catorce. Por eso tituló su libro Cent Mille Milliards de Poèmes” (“Cien mil millardos de poemas”, o lo que es lo mismo “Cien billones de poemas”). Cien billones porque un billón son un millón de millones, o sea 1012, así que 1014 hacen cien veces un billón. Recientemente la Editorial Demipage ha editado un libro, homenaje a Quenau, siguiendo el mismo procedimiento. Lo ha titulado “Cien mil millones de poemas”, no sé si por error o para que sonara parecido al original francés, porque lo cierto es que hay más de cien mil millones de poemas, como acabamos de ver. En este blog hay un par de vídeos donde se explica cómo funciona el invento.

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¿Se deben enseñar matemáticas en la escuela?

(Vía “Algo más que números“)

Una vez recuperada del desmayo, me he enterado de que el vídeo es una parodia. La broma surgió a raíz de otro vídeo – este sí auténtico – donde un grupo de misses de Estados Unidos opinan sobre si la Teoría de la Evolución debe ser objeto de estudio en las escuelas. El vídeo verdadero también provoca algún que otro desmayo, aviso.

Aparte de la observación obvia sobre lo atrevida que es la ignorancia, hago las siguientes reflexiones: (1) que las opiniones de las misses deben de ser bastante comunes también entre la población general, visto que no se conoce ninguna correlación entre la belleza y la falta de neuronas y/o de información; (2) que, con todo, Estados Unidos es quizás la mayor potencia mundial en ciencia, de donde se deduce que su modelo educativo es bueno para unas cosas pero muy malo para otras; y (3) que lo que opinen o dejen de opinar las reinas de la belleza sobre cualquier tema debería ser irrelevante: se las elige por ser guapas, no listas. Juzgarlas por sus opiniones o conocimientos sería tan injusto como evaluar a una ingeniera por lo guapa que es. Cada uno con lo suyo.

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Tres catorce dieciséis

En séptimo grado estaba estudiando “pi”, una letra griega que se parecía a los monumentos de piedra de Stonehenge, en Inglaterra: dos pilares verticales con un palito en la parte superior: π. Si se mide la circunferencia del círculo, y luego se la divide por el diámetro del círculo, eso es pi. En su casa, Ellie tomó la tapa de un frasco de mayonesa, le ató un cordel alrededor, estiró luego el cordel y con una regla midió la circunferencia. Lo mismo hizo con el diámetro, y posteriormente dividió un número por el otro. Le dio 3,21. La operación le resultó sencilla.

Al día siguiente, el maestro, el señor Weisbrod, dijo que π era 22/7, aproximadamente 3,1416, pero en realidad, si se quería ser exacto, era un decimal que continuaba eternamente sin repetir un período numérico. Eternamente, pensó Ellie. Levantó entonces la mano. Era el principio del año escolar y ella no había formulado aún ninguna pregunta en esa materia.
— ¿Cómo se sabe que los decimales no tienen fin?
—Porque es así —repuso el maestro con cierta aspereza.
—Pero, ¿cómo lo sabe? ¿Cómo se pueden contar eternamente los decimales?
—Señorita Arroway —dijo él consultando la lista de alumnos—, ésa es una pregunta estúpida. No les haga perder el tiempo a sus compañeros.
Como nadie la había llamado jamás estúpida, se echó a llorar. Billy Horstman, que se sentaba a su lado, le tomó la mano con dulzura. Hacía poco tiempo que a su padre lo habían procesado por adulterar el cuentakilómetros de los autos usados que vendía, de modo que Billy estaba muy sensible a la humillación en público. Ellie huyó corriendo de la clase, sollozando.

Esta historia aparece en el libro ‘Contacto‘, de Carl Sagan, del que después se hizo una película con Jodie Foster en el papel de Ellie adulta. La he recordado porque la medida del perímetro de una circunferencia usando un frasco de mayonesa y una cuerdita es muy  ilustrativa y sin embargo normalmente en la escuelas no se hacen este tipo de experiencias. Si no me equivoco, según el currículum los niños de sexto de primaria ya deberían de conocer el número π. Sin embargo, los del colegio donde hice las prácticas, a los que pregunté sobre el tema a propósito de unas medidas para una manualidad, sólo conocían la marca de ropa deportiva. Sería muy sencillo hacer que todos los niños midieran la relación entre el perímetro y el diámetro de un círculo y, si el número de medidas es más o menos grande – algo probable gracias a la última reforma educativa -, la media tendría que parecerse bastante a π, ¿no? La experiencia serviría también para introducir el concepto de error en las medidas por lo que se matarían dos pájaros de un tiro, matemáticamente hablando.

En realidad, confieso que si he recordado esta historia de π es porque quería poner el siguiente vídeo, donde se mide el área de un círculo usando únicamente una cadena y una regla. Me ha parecido una demostración muy elegante y sencilla. Ahora la constructivista que vive dentro de mí quiere sacrificar el tapón de la bañera en pro del avance de la ciencia.

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Viejas tecnologías (III)

Conversación entre el consejero de educación de Canarias y un niño, grabada a micrófono abierto (imagen extraída de archipielagomachango.com).

El otro día fuimos con los niños de Primero a la sala de ordenadores para que practicaran las sumas con un programa didáctico preparado al efecto. Se dedicaron a apretar botones a lo tonto. Curiosamente, ninguno construyó el concepto de suma ni el algoritmo de la adición.

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