Archivo mensual: agosto 2013

¿De qué están hechas las cosas? (Parte I)

Supongamos que dividimos una gota de agua en dos partes iguales, y después cogemos una de estas mitades y la volvemos a dividir para a su vez subdividir cada mitad y así sucesivamente. Cada vez tendremos gotas más pequeñas pero ¿habrá algún límite? ¿Se llegará a un punto en el que sea imposible seguir dividiendo? Demócrito, un filósofo griego que vivió en tiempos de Sócrates, hace unos dos mil cuatrocientos años, imaginó que ocurriría en una situación así y llegó a la conclusión de que ninguna sustancia podía dividirse infinitamente. Llegaría un momento, pensó Demócrito, en el que tendríamos un trozo muy pequeño que ya no podría ser dividido. A esa minúscula fracción indivisible, a esa pequeña partícula, la llamó átomo. Para él, el universo estaba constituido de átomos en el vacío. Todas las sustancias estaban formadas por partículas de distintos tipos – distintas en forma y tamaño, aunque con las mismas propiedades – que se ordenaban de distintas maneras. “Por convención el color, por convención lo salado, pero en realidad existen sólo átomos y vacío”, dijo Demócrito, que fue un adelantado al sugerir que la percepción podía ser una construcción mental. Demócrito, al parecer, llegó a formular una teoría del conocimiento bastante elaborada al afirmar que los fenómenos, lo perceptible, eran necesarios para conocer lo oculto pero, al mismo tiempo, la razón debía explicar cómo funcionan los sentidos y cómo se presentan ante ellos los fenómenos. Era sin duda un hombre sabio del que bien podíamos aprender para elaborar un curriculum escolar: “Son tres las consecuencias que se derivan de tener buen juicio: calcular bien, hablar bien y actuar como es debido.

    Imagen de demócrito en un antiguo billete griego de 100 dracmas. A la derecha se muestra un modelo atómico y el edifio de un institito griego de investigación nuclear. Imagen extrída de www-personal.umich.edu

Imagen de Demócrito en un antiguo billete griego de 100 dracmas. A la derecha se muestra un modelo atómico y el edifio de un institito griego de investigación nuclear. Imagen extrída de www-personal.umich.edu

Las ideas de Demócrito no prendieron entre los pensadores de su tiempo y de su obra sólo se conservan algunos fragmentos recogidos por Epicuro, gran admirador de Demócrito, quien fundó una escuela filosófica en Atenas casi un siglo después de morir este. Y si la obra de Epicuro ha llegado hasta nosotros, ha sido fundamentalmente gracias al libro “De rerum natura“, o “Sobre de la naturaleza de las cosas”, que el poeta y filósofo romano Tito Lucrecio Caro – o, simplemente, Lucrecio – escribió unos cincuenta años antes de Cristo. El libro de Lucrecio era en realidad una descripción del mundo físico en forma de poema. Llegó a ser muy popular pero también se hubiera perdido de no ser por Poggio Bracciolini, un latinista de Florencia y antiguo secretario de Papa, cuya afición a los libros lo llevó a emprender un viaje con la intención de buscar manuscritos de autores latinos en los monaterios europeos. La que probablemente fuese la única copia del poema de Lucrecio estaba en un monasterio alemán. Aunque nadie lo conocía, Bracciolini supo ver que estaba ante una obra excepcional. Tras mandarlo a copiar lo llevó a Florencia donde hicieron nuevas copias y, así, muy pronto empezó a circular entre los eruditos de la época. Cuando llegó la imprenta, fue uno de los primero libros en imprimirse. Se dice que “De rerum natura” ejerció una considerable influencia en el pensamiento occidental, hasta el punto de enterrar la Edad Media cambiando la concepción filosófica del mundo moderno.

Sello irlandés con Boyle y su famosa relación entre la presión y el volumen de un gas. Imagen extraída de communicatescience.eu.

Sello irlandés con Boyle y su famosa relación entre la presión y el volumen de un gas. Imagen extraída de communicatescience.eu

Pese a que Demócrito había señalado la importancia de la observación – lo perceptible para conocer lo oculto – su método, y el de los antiguos griegos en general, era teórico y especulativo. Como los griegos, los antiguos alquimistas también trataban de averiguar cuáles eran los elementos originarios de los que están hechos todas las cosas aunque, a diferencia de ellos, experimentaban con los materiales con los que especulaban. Especialmente cuidadoso en sus observaciones fue Robert Boyle, quien, ya en el siglo XVII, sentó las bases de la química moderna. En sus experimentos, Boyle anotaba todos los datos que creía relevantes: el lugar, el viento, la presión, la posición de la luna y el sol… Estudiando el aire, se preguntó por qué se podía comprimir y se le ocurrió – puede que rescatando la vieja idea de Demócrito – que quizás estaba compuesto de partículas que se iban juntando más y más con la compresión. Los éxitos de los alquimistas eran cada vez mayores a medida iban dejando a un lado la magia y adoptando el método científico. Por ejemplo, se hizo el intento de medir los pesos relativos de los componentes de las sustancias químicas. Así, Joseph Louis Proust, quien desarrolló casi toda su carrera en España, al estudiar la composición de diversos compuestos, descubrió que la proporción en masa de cada uno de los componentes se mantenía constante independientemente de las condiciones en las que se llevase a cabo el estudio. Por ejemplo, siempre que el cobre, el oxígeno y el carbono formaban carbonato de cobre, las proporciones de peso eran siempre las mismas: cinco unidades de cobre, por cuatro de oxígeno y una de carbono. La receta del carbonato de cobre era inmutable y la proporción era siempre la misma, 5:4:1, ni un poco más, ni un poco menos.

El científico inglés John Dalton fue todavía más allá con sus observaciones pese a que, según se decía, no era un experimentador demasiado riguroso y además tenía la dificultad añadida de confundir los frascos de reactivos porque no podía distinguir su color. Dalton era daltónico, como su nombre indica. El caso, es que no solo confirmó que en un compuesto las proporciones en peso de sus componentes eran siempre las mismas – como ya había dicho Proust – , sino que descubrió que cuando dos elementos se combinaban para originar distintos compuestos, dada una cantidad fija de uno de ellos, las diferentes cantidades del otro  estaban en relación de números enteros sencillos. Por ejemplo, el dióxido de carbono está compuesto por carbono y oxígeno en la proporción, por peso, de 3 unidades del primero por 8 del segundo, mientras que el monóxido de carbono también está formado por carbono y oxígeno pero en la proporción de 3 a 4. En el carbonato de cobre la proporción en peso de carbono y oxígeno era de 1 a 4 (que es lo mismo que de 3 a 12). Pensó entonces que esta norma podía explicarse suponiendo que la materia estaba formada por partículas y, como conocía la teoría de Demócrito, a estas partículas las llamó átomos. Si el átomo de carbono pesara 4 unidades, el dióxido de carbono tendría dos átomos y el monóxido de carbono uno. Según Dalton, cada elemento representaba un tipo particular de átomos y cualquier cantidad de este elemento estaba formada por átomos idénticos de esa clase. Lo que distinguía un elemento de otro era entonces la naturaleza de sus átomos y lo que diferenciaba a uno de otro era su peso. Así, los átomos de azufre eran más pesados que los del oxígeno, que a su vez eran más pesados que los del nitrógeno, más pesados que los del carbono, los cuales pesaban más que los del hidrógeno. De este modo Dalton estableció la primera teoría atómica de la materia.

Lista de elementos de Dalton, con sus símblos. Dalton pensaba que había tantos típos de átomos como elementos distintos.

Lista de elementos de Dalton, con sus símblos. Dalton pensaba que había tantos típos de átomos como elementos distintos. Imagen extraída de http://tableofelements.tumblr.com

En el siglo XX los físicos empezaron a utilizar métodos para descubrir que el átomo estaba constituido por partículas aún más pequeñas, pero esta ya es otra historia que contaremos en la segunda parte.

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Métodos de estudio

Echando un vistazo a un blog sobre educación del periódico El País, en el que no había reparado hasta ahora, me encuentro con una serie de pautas que muchos pedagogos (¿nueve de cada diez?) dicen que hay que seguir para estudiar. No es la primera vez que veo listas similares. De hecho, este es el tipo de cosas que se enseñan en los cursillos de técnicas de estudio —previo pago de una módica cantidad— y hasta juraría que se me examinó de algo similar en varias asignaturas de la carrera de Magisterio. Los pasos en cuestión son variaciones de los que se detallan en el blog:

1. Realizar una primera lectura para explorar el tema del libro o de los apuntes que se van a estudiar, sin subrayar.

2. Hacer una segunda lectura más profunda, ya subrayando lo más importante. Éste consiste en jerarquizar las ideas y en ir marcándolas de diferentes modos, con varios colores incluso, según su importancia.

3. Posteriormente, hay que realizar un esquema de las ideas principales del tema o un resumen. Si el tema es muy largo, es mejor optar por el resumen. Pero conviene alternar la forma de trabajar los temas, es decir, combinar los resúmenes, esquemas y lecturas en profundidad.

4. El esquema o el resumen hay que aprendérselo. Se puede hacer leyéndolo unas cuantas veces o incluso repitiéndolo en voz alta.

5. Es sobre éstos sobre los que debe repasar en el futuro el estudiante, más cerca del examen. De ahí la importancia de saber hacer buenos esquemas o resúmenes, con los conceptos realmente importantes. Además, es algo que al estudiante que lo sepa hacer bien le puede servir para toda la vida, para aprenderse desde una conferencia que tenga que impartir a saber exponer las ideas relevantes ante un tribunal de doctorado. El que aprende a estudiar bien desde niño, adquiere la habilidad de jerarquizar ideas muy bien.

6. Volver a leer todo una vez para comprobar que el esquema o resumen está bien organizado y que no se ha olvidado nada importante.

7. Cuando se empieza una asignatura, conviene organizar un plan de estudio hasta el examen. Por ejemplo, si la prueba es al cabo de dos meses, hay que repasar periódicamente los esquemas y resúmenes, como decíamos antes.

8. Por último, conviene recordar que no hay que estudiar en el último momento sobre los originales, es decir, el libro o los apuntes. Ya no le hará falta al alumno, a no ser para alguna consulta puntual sobre algo que no entienda o en lo que quiera profundizar. Se estudia sobre lo que el estudiante ha elaborado.

Siguiendo estas indicaciones el éxito está asegurado. Pedagógicamente testado, queridos niños y jóvenes.

Ahora bien, si lo que se pretende es estudiar para aprender algo de verdad, siento decir que el método no funciona. La prueba está en que los que lo han seguido en su etapa escolar y universitaria, no son capaces de darse cuenta de que detrás de esos ocho inocentes ítems se esconde una determinada —y paupérrima— concepción de la enseñanza: memorística, acrítica, pasiva y repetitiva. La exaltación de los apuntes como única fuente de conocimiento nos aleja de los que deberían ser los objetivos básicos de la educación escolar: entender lo que se lee, construir argumentos, resolver problemas… En lugar de retos que nos obliguen a pensar, se nos presentan unos apuntes con el pensamiento de Aristóteles preparado para ser condensado en diez ítems —ni uno más, ni uno menos— y subrayado con colores para finalmente ‘ser aprendido’. Como se dice en este magnífico artículo (que agradezco a Aloe haber enlazado una vez y que recomiendo encarecidamente leer), el sistema de aprendizaje, “repite lo que te he dicho y no cambies ni una coma”, es digno de una sociedad jerárquica en la que el saber viene de arriba y hay que “aprendérselo” todo (quizá esto explique la obsesión de unos y otros por controlar la educación para crear “adeptos”). A los pedagogos les habrá servido para aprobar Pedagogía. Yo lo seguiría si me fuera a presentar a unas oposiciones (que son aquellos exámenes que había cuando vivíamos por encima de nuestras posibilidades), pero esto sólo nos indica que hay que desconfiar de la formación recibida por los pedagogos y de las aptitudes exigidas a los funcionarios (que son esas personas que en tiempos remotos accedieron a un empleo público tras aprobar un examen). Y no digo que necesariamente los primeros no estén formados ni que los segundos no sean aptos para la labor que realizan. Digo, simplemente, que haber seguido el método de estudio en ocho pasos recomendado por ‘los expertos’, no lo asegura. Porque no es honesto presentar el estudio como sinónimo de ‘entrenar para pasar una prueba’ o ‘memorizar una serie de cosas’.

Conste que aprender a hacer esquemas, a jerarquizar las ideas y a memorizar está muy bien, pero desde luego no es la única habilidad que se debe esperar de un estudiante. En algunos casos será necesario, pero no es de ningún modo suficiente. Además, tiene gracia que el sistema de estudio se pretenda universal cuando como mínimo se trata de una serie de indicaciones útiles para tratar un tipo de contenidos determinado de una manera determinada. Invito a los señores pedagogos que lo recomiendan, que traten de aprender a resolver ecuaciones, a redactar una carta o a crear un algoritmo para un programa de ordenador —por poner tres ejemplos— siguiendo estos pasos. Lo curioso es que este tipo de cosas se las he oído sobre todo a los que abominan de la memorización, asunto que te explican mediante ítems en un PowerPoint que tienes que memorizar.

¿Y que propongo yo (que me creo muy lista pero en realidad no)? Pues la verdad es que no puedo dar un método que sirva para todos los campos, todos los niveles y todo tipo de persona. Si acaso, daría unas indicaciones generales como que para estudiar —en su sentido más amplio— es importante tener tranquilidad, buena luz, descanso y cosas así. Después hace falta atención y concentración para leer, a veces resumir o esquematizar, subrayar, comparar con otras fuentes, relacionar con otros temas, escribir con volcabulario propio, tratar de resolver problemas o preguntas, de realizar algún proyecto o de defender un argumento con los conocimientos que se han introducido… y otras posibles tareas que nos lleven a cumplir los objetivos que se han propuesto que deberán apuntar más allá de a aprobar un simple examen.

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La educación nos hace libres… y honrados

Según el investigador sueco Bo Rothstein, existe una clara correlación entre la calidad de los sistemas educativos que distintos países tenían en 1870 y su nivel de corrupción en 2010.

Por calidad del sistema educativo nos referimos en este caso al promedio de los años de escolarización, mientras que el grado de corrupción se ha medido usando el Indíce de Percepción de la Corupción (CPI, por sus siglas en inglés) definido por la organización Transparencia Internacional. Este índice va de 0 a 10 de tal modo que es más pequeño cuanto mayor sea la percepción de corrupción. El efecto se ilustra en la figura que he extraído del artículo “Mass Education, State Building and Equality“, de Uslaner y Rothstein, y editado para señalar —con el círculo rojo— la medida correspondiente a España (entre nosotros: me sorprende que les hayan dejado publicar la figura así, tan chapucera como está).

education1870vscorruption

Nivel de corrupción frente a período medio de escolarización en diferentes países. La imagen ha sido extraida del documento “Mass Education, State Building and Equality“, de Uslaner y Rothstein, y editada para señalar en rojo el punto correspondiente a España.

Creo que se pueden hacer bastantes objeciones al método, pero no deja de ser un resultado curioso. Yo he encontrado el dato en este artículo.

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La campana perdida de Gauss

Un maestro manda un ejercicio a sus pequeños alumnos de siete años con la idea de mantenerlos ocupados mientras él se dedica a otra tarea. Se trata de calcular la suma de todos los números del 1 al 100: 1+2+3+4+… y así sucesivamente hasta 100. La clase queda en silencio cuando los niños se ponen manos a la obra, pero no pasa ni un minuto y ya hay uno que parece estar en babia. ¿Por qué no trabajas?, le pregunta el maestro. Es que ya he terminado – dice el crío -, la suma de todos los números del 1 al 100 es 5050. Los hechos ocurrieron a finales del siglo XVIII y el niño de la historia es Carl Friedich Gauss.

El pequeño Gauss, antes de comenzar a sumar mecánicamente como habían hecho sus compañeros, se paró a reflexionar sobre el problema. En seguida se dio cuenta de una curiosa propiedad: la suma del primer y último término de la serie (1+100=101) era igual a la suma del segundo y el penúltimo (2+99=101) y así sucesivamente:

1 , 2 , 3 , 4 . . . . . . . . . 97 , 98 , 99 , 100

1+100 = 2+99 = 3+98 = 4+97 = … = 101

Para tener el resutado final, se necesita repetir esta suma 50 veces, porque el último par a sumar es el 50+51. Es decir, el resultados será 50 veces 101, o 5050.

El maestro entendió que tenía un alumno especialmente dotado para las matemáticas y no dudó en hablar con sus padres para que le permitieran recibir clases complementarias de esta materia después de las clases ordinarias. Su talento también llegó a oídos del duque de Brunswick, quien pagó los estudios posteriores del joven Gauss, que de otro modo no podría haber continuado en la escuela porque su famila carecía de medios. De haber vivido hoy, Gauss no hubiera necesitado la ayuda de ningún duque para seguir estudiando. Sin embargo, quizás en la escuela, coloreando fichas, nadie hubiera descubierto su talento.

A Gauss se le conoce como Príncipe de las matemáticas, porque sus trabajos en este campo fueron muy numerosos e increíblemente brillantes. Una de sus contribuciones es la curva de distribución normal, también llamada gaussiana o campana de Gauss. La gaussiana representa la distribución de numerosos fenómenos aleatorios, humanos o naturales. Por ejemplo, la estatura, el coeficiente intelectual, los errores en las medidas de un experimento, el tamaño de los tornillos fabricados con una máquina o el peso de los paquetes de harina envasados en un molino, siguen una distribución normal.

Curva de distribución normal en torno a la media de desviación. (Figura extraída de la wikipedia).

Curva de distribución normal en torno a la media, μ, de desviación σ. (Figura extraída de la wikipedia).

La distribución normal tiene algunas propiedades interesantes. Si a cada uno de los valores de una distribución, le restamos el valor medio, elevamos al cuadrado cada una de estas diferencias, calculamos su suma y dividimos el resultado entre el número de valores, obtenemos una cantidad llamada ‘varianza’. La raíz cuadrada de la varianza es la desviación típica, o desviación estándar, un valor que da cuenta de la dispersión de los datos respecto a la media y que se suele denotar con la letra griega sigma (σ). Pues bien, en una distribución normal, el 68.2% de los valores se encuentran a una desviación estándar de la media (es la región pintada de azul oscuro en la figura). Es complicado dar definiciones precisas de conceptos tan complejos como la inteligencia o la capacidad de aprendizaje pero, a grandes rasgos, podemos decir que un 68.2% de los estudiantes tienen capacidades promedio dentro de una sigma. La educación escolar está diseñada fundamentalmente para atender a esta mayoría. Sin embargo, hay un 31.8% de escolares fuera de esta “normalidad”. Si en el año 2012 había unos 290.000 niños escolarizados en Canarias en los niveles de infantil y primaria, podemos decir que aproximadamente 92.000 niños se alejaban de la media en más de una desviación estándar. De ellos, más de 12.000 se encontraban entre dos y tres  desviaciones estándar. Incluso en los casos extremos, en las alas de la campana de Gauss, hay una población lo suficientemente importante como para que su presencia no pase desapercibida en las escuelas. Así, en Canarias en el año 2012 tuvo que haber unos 290 escolares cuyas capacidades eran más de tres desviaciones estándar menores que la media y otros tantos con capacidades más de tres sigmas mayores que la media. Este último quizás era el caso de Gauss. ¿Donde están todos estos niños?

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Neolengua

– ¿Cuántas patas tiene un cerdo?
– Cuatro.
– Y si llamamos pata a su cola, ¿cuántas patas tiene?
– Cinco.
– De eso nada: no es posible transformar una cola en pata sólo con llamarla pata.

Adivinanza infantil anónima, leída en “Curso de autodefensa intelectual” de Normand Baillargeon.

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