La campana perdida de Gauss

Un maestro manda un ejercicio a sus pequeños alumnos de siete años con la idea de mantenerlos ocupados mientras él se dedica a otra tarea. Se trata de calcular la suma de todos los números del 1 al 100: 1+2+3+4+… y así sucesivamente hasta 100. La clase queda en silencio cuando los niños se ponen manos a la obra, pero no pasa ni un minuto y ya hay uno que parece estar en babia. ¿Por qué no trabajas?, le pregunta el maestro. Es que ya he terminado – dice el crío -, la suma de todos los números del 1 al 100 es 5050. Los hechos ocurrieron a finales del siglo XVIII y el niño de la historia es Carl Friedich Gauss.

El pequeño Gauss, antes de comenzar a sumar mecánicamente como habían hecho sus compañeros, se paró a reflexionar sobre el problema. En seguida se dio cuenta de una curiosa propiedad: la suma del primer y último término de la serie (1+100=101) era igual a la suma del segundo y el penúltimo (2+99=101) y así sucesivamente:

1 , 2 , 3 , 4 . . . . . . . . . 97 , 98 , 99 , 100

1+100 = 2+99 = 3+98 = 4+97 = … = 101

Para tener el resutado final, se necesita repetir esta suma 50 veces, porque el último par a sumar es el 50+51. Es decir, el resultados será 50 veces 101, o 5050.

El maestro entendió que tenía un alumno especialmente dotado para las matemáticas y no dudó en hablar con sus padres para que le permitieran recibir clases complementarias de esta materia después de las clases ordinarias. Su talento también llegó a oídos del duque de Brunswick, quien pagó los estudios posteriores del joven Gauss, que de otro modo no podría haber continuado en la escuela porque su famila carecía de medios. De haber vivido hoy, Gauss no hubiera necesitado la ayuda de ningún duque para seguir estudiando. Sin embargo, quizás en la escuela, coloreando fichas, nadie hubiera descubierto su talento.

A Gauss se le conoce como Príncipe de las matemáticas, porque sus trabajos en este campo fueron muy numerosos e increíblemente brillantes. Una de sus contribuciones es la curva de distribución normal, también llamada gaussiana o campana de Gauss. La gaussiana representa la distribución de numerosos fenómenos aleatorios, humanos o naturales. Por ejemplo, la estatura, el coeficiente intelectual, los errores en las medidas de un experimento, el tamaño de los tornillos fabricados con una máquina o el peso de los paquetes de harina envasados en un molino, siguen una distribución normal.

Curva de distribución normal en torno a la media de desviación. (Figura extraída de la wikipedia).

Curva de distribución normal en torno a la media, μ, de desviación σ. (Figura extraída de la wikipedia).

La distribución normal tiene algunas propiedades interesantes. Si a cada uno de los valores de una distribución, le restamos el valor medio, elevamos al cuadrado cada una de estas diferencias, calculamos su suma y dividimos el resultado entre el número de valores, obtenemos una cantidad llamada ‘varianza’. La raíz cuadrada de la varianza es la desviación típica, o desviación estándar, un valor que da cuenta de la dispersión de los datos respecto a la media y que se suele denotar con la letra griega sigma (σ). Pues bien, en una distribución normal, el 68.2% de los valores se encuentran a una desviación estándar de la media (es la región pintada de azul oscuro en la figura). Es complicado dar definiciones precisas de conceptos tan complejos como la inteligencia o la capacidad de aprendizaje pero, a grandes rasgos, podemos decir que un 68.2% de los estudiantes tienen capacidades promedio dentro de una sigma. La educación escolar está diseñada fundamentalmente para atender a esta mayoría. Sin embargo, hay un 31.8% de escolares fuera de esta “normalidad”. Si en el año 2012 había unos 290.000 niños escolarizados en Canarias en los niveles de infantil y primaria, podemos decir que aproximadamente 92.000 niños se alejaban de la media en más de una desviación estándar. De ellos, más de 12.000 se encontraban entre dos y tres  desviaciones estándar. Incluso en los casos extremos, en las alas de la campana de Gauss, hay una población lo suficientemente importante como para que su presencia no pase desapercibida en las escuelas. Así, en Canarias en el año 2012 tuvo que haber unos 290 escolares cuyas capacidades eran más de tres desviaciones estándar menores que la media y otros tantos con capacidades más de tres sigmas mayores que la media. Este último quizás era el caso de Gauss. ¿Donde están todos estos niños?

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4 Respuestas a “La campana perdida de Gauss

  1. Los de la cola izquierda sí que sabemos el camino que van a seguir, con una única bifurcación, dependiendo de si son disruptivos o no.
    ¿Dónde están los de la cola derecha? Pues me temo que no es fácil saberlo, pues tenemos dos distribuciones normales como mínimo: por un lado está la que mencionas, la de las capacidades, y por otro tenemos la del éxito escolar. El hecho de que no se solapen adecuadamente provoca la dificultad. Si aceptásemos capacidad=éxito escolar, la respuesta es mucho más sencilla: simplemente tienen las mejores calificaciones y siguen avanzando cursos, como se espera en los centros educativos y en la administración. Aunque el discurso de Ken Robinson generalmente me enerva, en este caso tengo que reconocer que la creatividad necesaria para demostrar con 19 años que el heptadecágono era constructible no se encuentra entre las capacidades trabajadas en los institutos (de las escuelas no tengo información). Tampoco tengo claro que esa creatividad se pueda trabajar, para ser honesto.
    Y por último creo que Gauss estaría más a la derecha que solo 3 sigmas, junto a Newton, Euler, Arquímedes…

  2. JJ, yo diría que el camino que seguirán los de la cola izquierda (en realidad todos en general) dependerá bastante del nivel socioeconómico de partida. Los pobres seguirán siendo pobres. Les habrán hecho creer que cualquiera puede llegar a ser cualquier cosa pero a la hora de la verdad nadie los ayudará a conseguir siquiera lo más elemental. A los de más medios, les bastará un poco de desparpajo para convertirse en Carromeros de la vida, por no dar otros ejemplos más dolorosos.

    En cuanto a Gauss, como digo en la entrada, supongo que estaría entre ese 0.1% a más de 3 sigma. Era alguien sin duda muy excepcional, probablemente único en su generación pero, como dice mi amiga K., no se conoce a ningún ser humano que haya medido jamás cinco metros. La cuestión es que hoy en los países desarrollados la población infantil coincide con la población escolarizada, o con acceso a la cultura, lo que no ocurría ni mucho menos en tiempos de Newton, Euler o Arquímedes, por lo que la probabilidad de encontar algún Newton, Euler o Arquímedes es considerablemente mayor, pero muchos se pierden por el camino. Yendo a los datos, queda claro que el éxito escolar no está correlacionado con la capacidad. Como decía en esta entrada hace tiempo, en España, el porcentaje de alumnos con alto nivel de competencias es inferior al de la media de OCDE y desde luego menor que el porcentaje de alumnos de altas capacidades.

    • Sin duda la cola izquierda depende de su contexto socioeconómico, Cristina, me he expresado mal. Quería decir que, refiriéndonos solo al periplo de los alumnos en la enseñanza pública, en la disrupción tiene un peso importante la situación económica.
      Respecto al porcentaje de alumnos con nivel alto de competencias, habría que ver cómo miden ese nivel. Si se utiliza PISA ya sabemos ciertos factores específicos de la enseñanza española que influyen en los resultados. Si se utilizan otros tests más académicos, como TIMSS o las diferentes evaluaciones de diagnóstico que hay ya por España adelante, me temo que hay muchas razones. Te pongo un par de ejemplos: habitualmente la evaluación diagnóstico en Galicia es realizada antes de acabar la programación del curso (si alguien acaba esa lista de 14 unidades, que es otra historia). Si sigues el orden estipulado en el curriculum base (BOE y DOG) te vas a encontrar con que el bloque de Estatística e Probabilidade está al final, mientras que siempre aparece sobrerrepresentado en estas evaluaciones. Consecuencia: no va a haber alumnos que destaquen, pues esas unidades no se habrán trabajado aún, y las puntuaciones más altas llegarán al 80% a lo sumo.
      En cuanto al TIMSS, recuerdo haber leído que hace años los alumnos españoles tenían malos resultados en tareas como la estimación de cálculos. Lógicamente, pues jamás se había introducido en los planes de estudio. Así que ahora tenemos en los temarios error abs./rel., estimación del error,… que por cierto no es lo que se pedía en aquellos items del TIMSS. Así nos las gastamos por estos pagos, como en el caso del artista que escuchó que los ordenadores trabajaban en binario y puso a toda España a aprender sistemas de numeración distintos del decimal con 7 años o el que introdujo 20 años tarde la New Math.
      (De paso aprovecho) El fiasco con los CCSS en el estado de New York ha sido de órdago. Y el hecho de que hayan bajado más las charter schools que las públicas, curioso.

  3. El otro día Richard Dawkins, que cada vez está más fanatizado y ya empieza a disparatar, dijo que en la historia ha habido menos premios Nobel musulmanes que graduados por el Trinity College de Cambridge. Si algo se puede deducir de este dato es que el Trinity College ha sabido manejar mejor sus 3-sigma que otras instituciones educativas.

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