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La campana perdida de Gauss

Un maestro manda un ejercicio a sus pequeños alumnos de siete años con la idea de mantenerlos ocupados mientras él se dedica a otra tarea. Se trata de calcular la suma de todos los números del 1 al 100: 1+2+3+4+… y así sucesivamente hasta 100. La clase queda en silencio cuando los niños se ponen manos a la obra, pero no pasa ni un minuto y ya hay uno que parece estar en babia. ¿Por qué no trabajas?, le pregunta el maestro. Es que ya he terminado – dice el crío -, la suma de todos los números del 1 al 100 es 5050. Los hechos ocurrieron a finales del siglo XVIII y el niño de la historia es Carl Friedich Gauss.

El pequeño Gauss, antes de comenzar a sumar mecánicamente como habían hecho sus compañeros, se paró a reflexionar sobre el problema. En seguida se dio cuenta de una curiosa propiedad: la suma del primer y último término de la serie (1+100=101) era igual a la suma del segundo y el penúltimo (2+99=101) y así sucesivamente:

1 , 2 , 3 , 4 . . . . . . . . . 97 , 98 , 99 , 100

1+100 = 2+99 = 3+98 = 4+97 = … = 101

Para tener el resutado final, se necesita repetir esta suma 50 veces, porque el último par a sumar es el 50+51. Es decir, el resultados será 50 veces 101, o 5050.

El maestro entendió que tenía un alumno especialmente dotado para las matemáticas y no dudó en hablar con sus padres para que le permitieran recibir clases complementarias de esta materia después de las clases ordinarias. Su talento también llegó a oídos del duque de Brunswick, quien pagó los estudios posteriores del joven Gauss, que de otro modo no podría haber continuado en la escuela porque su famila carecía de medios. De haber vivido hoy, Gauss no hubiera necesitado la ayuda de ningún duque para seguir estudiando. Sin embargo, quizás en la escuela, coloreando fichas, nadie hubiera descubierto su talento.

A Gauss se le conoce como Príncipe de las matemáticas, porque sus trabajos en este campo fueron muy numerosos e increíblemente brillantes. Una de sus contribuciones es la curva de distribución normal, también llamada gaussiana o campana de Gauss. La gaussiana representa la distribución de numerosos fenómenos aleatorios, humanos o naturales. Por ejemplo, la estatura, el coeficiente intelectual, los errores en las medidas de un experimento, el tamaño de los tornillos fabricados con una máquina o el peso de los paquetes de harina envasados en un molino, siguen una distribución normal.

Curva de distribución normal en torno a la media de desviación. (Figura extraída de la wikipedia).

Curva de distribución normal en torno a la media, μ, de desviación σ. (Figura extraída de la wikipedia).

La distribución normal tiene algunas propiedades interesantes. Si a cada uno de los valores de una distribución, le restamos el valor medio, elevamos al cuadrado cada una de estas diferencias, calculamos su suma y dividimos el resultado entre el número de valores, obtenemos una cantidad llamada ‘varianza’. La raíz cuadrada de la varianza es la desviación típica, o desviación estándar, un valor que da cuenta de la dispersión de los datos respecto a la media y que se suele denotar con la letra griega sigma (σ). Pues bien, en una distribución normal, el 68.2% de los valores se encuentran a una desviación estándar de la media (es la región pintada de azul oscuro en la figura). Es complicado dar definiciones precisas de conceptos tan complejos como la inteligencia o la capacidad de aprendizaje pero, a grandes rasgos, podemos decir que un 68.2% de los estudiantes tienen capacidades promedio dentro de una sigma. La educación escolar está diseñada fundamentalmente para atender a esta mayoría. Sin embargo, hay un 31.8% de escolares fuera de esta “normalidad”. Si en el año 2012 había unos 290.000 niños escolarizados en Canarias en los niveles de infantil y primaria, podemos decir que aproximadamente 92.000 niños se alejaban de la media en más de una desviación estándar. De ellos, más de 12.000 se encontraban entre dos y tres  desviaciones estándar. Incluso en los casos extremos, en las alas de la campana de Gauss, hay una población lo suficientemente importante como para que su presencia no pase desapercibida en las escuelas. Así, en Canarias en el año 2012 tuvo que haber unos 290 escolares cuyas capacidades eran más de tres desviaciones estándar menores que la media y otros tantos con capacidades más de tres sigmas mayores que la media. Este último quizás era el caso de Gauss. ¿Donde están todos estos niños?

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