¿Qué fue de los diagramas de Venn?

Los que fuimos escolarizados bajo la Ley General de Educación de 1970 (los que hicimos la EGB, vaya) estudiamos matemáticas haciendo diagramas de Venn. Para nosotros las matemáticas comenzaron siendo conjuntos que primero se unían y se interceptaban y que después se relacionaban con aplicaciones inyectivas, biyectivas o suprayectivas. A partir de los conjuntos se iba construyendo todo los demás: por ejemplo los números naturales eran el mínimo conjunto inductivo, o sea, que se podía hacer una biyección desde un número natural hasta el conjunto de cosas que queríamos contar. Después estaban las estructuras algebraicas como los anillos y no sé qué más. Y así.

Diagrama de Venn mostrando todas las intersecciones posibles entre tres conjuntos (fuente: wikipedia)

Ahora me he enterado que esta forma de enseñar matemáticas fue una moda una nueva metodología conocida como “Matemática Moderna” que pretendió llevar a las escuelas contenidos con un alto nivel de formalización, el método axiomático y el lenguaje lógico-simbólico. Se dice que la puesta en órbita del Sputnik en 1957 tuvo bastante que ver en la rápida adopción, primero en Estados Unidos y después en Europa Occidental, de la Matemática Moderna: el adelanto de los soviéticos en la carrera espacial se explicó como debido a su mayor efectividad en la enseñanza de las ciencias en general y de las matemáticas en particular y así a alguien se le ocurrió que había que reformar los programas escolares (eso que más tarde se llamó currículo). Los impulsores de esa corriente eran un grupo de matemáticos franceses llamados bourbakistas (porque firmaban bajo el pseudónimo de Nicolas Bourbaky) que al grito “¡Muerte al triángulo! ¡Abajo Euclides!”, y por una serie de razones, consiguieron imponer su criterio en el sistema norteamericano de educación. En poco tiempo el método se adoptó en otros países europeos y al final  en España (probablemente cuando ya se estaba abandonando en aquellos países).  Sin duda fue también decisivo que Jean Piaget, uno de los psicólogos más brillantes del siglo XX y probablemente el que más influencia ha tenido en los sistemas educativos de todo el mundo,  se mostrara favorable a la adopción del nuevo paradigma: “Resulta perfectamente posible y deseable la realización de una profunda reforma de la enseñanza en la dirección de las matemáticas modernas, ya que, de modo realmente notable, éstas parecen estar mucho más cerca de las operaciones espontáneas o naturales del sujeto (niño o adolescente) de lo que estaba la enseñanza tradicional de estas ramas, demasiado tributaria de la historia.”

Supongo que, como en el tema de la construcción del aprendizaje, las teorías de Piaget se malinterpretaron porque cuesta creer que las matemáticas abstractas, tal y como las planteaba la Matemática Moderna, fueran algo natural para el cerebro humano… al menos para el cerebro del 90% de las personas. Así opina también el autor de este post que con mucho humor e ingenio explica por qué cree que este tipo de enseñanza fracasa. Otro crítico, ahora ilustre, de la Matemática Moderna fue el matemático francés, ganador de una medalla Fields, René Thom para el que la teoría de conjuntos explicada a niños de seis años llegaba a lo caricaturesco al convertirse en “una simple escritura taquigráfica para explicar situaciones evidentes y no poder explicar las abstracciones”. Me ha encantado esta definición porque creo que es lo que hacen muchos pedagogos al incluir diagramas de Venn en sus publicaciones para tratar, supongo, de elevar a saber científico conceptos y relaciones que, o son de conocimiento común, o son triviales. Me refiero a cosas de este estilo. El caso es que después de unos quince o veinte años hubo un acuerdo bastante amplio sobre el fracaso de la Matemática Moderna y la conveniencia de volver atrás con el lema “Back to basics”. El fracaso se debió en parte a la falta de preparación del profesorado que se vio forzado a explicar lo que en muchos casos no comprendía, y probablemente también a motivos más profundos como el uso –abuso– prematuro y exagerado del rigor y la abstracción, el intentar hacer explícito lo que hasta entonces había permanecido implícito, el olvido de la intuición, la ausencia de ejemplos significativos bien asimilados que pudieran justificar las nociones abstractas que venían a unificarlos… Con todo, supongo que la Matemática Moderna tiene su público y sólo es cuestión de encontrarlo y dar a cada uno lo que necesita, llevando a la práctica de verdad aquello de la atención a la diversidad. Por ahora, los que crecimos con los diagramas de Venn tenemos el consuelo de entender todos estos chascarrillos.

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11 Respuestas a “¿Qué fue de los diagramas de Venn?

  1. Buenos días:
    Llego a tu blog desde Profesor en la Secundaria.
    Este post me ha parecido realmente interesante. Yo, que también estudié bajo el régimen de la New Math, a veces creo que tampoco se llegó a instaurar por completo. Pues junto a las abstracciones (aún recuerdo aquellas aplicaciones sobreyectivas/suprayectivas/exhaustivas, no sé por qué ponían todos los sinónimos) seguíamos dando algoritmos mecánicos, como la regla de tres compuesta en 7º de E.G.B., los problemas-tipo de móviles, mezclas, relojes… Lo que sí sucedió, desde luego, fue el abandono de la geometría sintética elemental. En mis años de E.G.B. recuerdo vagamente haber dado en el ciclo superior solamente el Teorema de Tales y el de Pitágoras. Bueno, el tema se presta a muchos recuerdos y reflexiones (por ejemplo, recuerdos de estudiar los sistemas de numeración llevando lentejas a clase y poniéndolas como unidades, decenas…) así que te dejo un diagrama de Venn que me gusta especialmente y que robé del blog de Dan Meyer para colocarlo en medio de un post propio donde explicaba los conjuntos de números a una alumna de 3º de E.S.O. (que por cierto, no entendió nada):
    http://matematicasnarua.blogspot.com/2011/01/ai-os-numeros.html

  2. Me ha gustado esta entrada y eso que soy de …Letras.
    Un saludo

  3. Gracias, Coquejj. La verdad es que no sé si hubiera sido deseable que las Matemáticas Modernas hubieran llegado a instaurarse por completo en las escuelas. Y fíjate que creo que yo en su día, sin ser una lumbrera ni mucho menos, realmente entendía lo que estudiaba. Me acuerdo que lo de los tipos de aplicaciones lo veía muy claro (aunque para escribir el post lo tuve que repasar)… pero que entendiera eso no significaba que tuviese realmente capacidad de abstracción. Más bien se trataba de transcribir situaciones evidentes, como decía René Thom. Sin embargo, con el abandono de la geometría (yo prácticamente no estudié geometría más allá de las áreas y los volúmenes básicos) sí que se perdió la oportunidad de usar la intuición para fomentar pensamiento matemático. Es un tema complicado el de la enseñanza de las matemáticas de todas maneras…
    He estado echando un vistazo a tu blog y me ha parecido muy interesante y también genial el blog de Dan Meyer, que no conocía.

    Gracias también a ti, Luis Antonio. Yo nunca me he creído eso de ser de letras o de ciencias… será porque soy de ciencias 🙂

  4. Pues yo disiento: cuando era un alumno no entendía la división entre alumnos de letras y alumnos de ciencias, pero desde que soy profesor he venido percibiendo diferencias notables entre los alumnos de facilidad, de predisposición… hacia materias de letras o de ciencias. Lo cual no debería sorprender, siendo los tipos de tareas mentales tan diversas en las diferentes disciplinas.
    Respecto a la instauración de las “Matemáticas Modernas”, creo que seguramente hubiese sido buena idea no llevarla a cabo, ni parcialmente siquiera.
    Una última reflexión-confesión: en 2º-3º de E.S.O. las unidades de geometría métrica en 3D son las más aburridas de trabajar, desde un punto de vista matemático. La sucesión de fórmulas (sin explicación adecuada) de volúmenes y áreas es insufrible.

  5. Pues yo también disiento 🙂

    Mi experiencia como estudiante y como profesora (hace ya un tiempillo) fue que los alumnos que eran buenos en matemáticas también lo eran escribiendo. Esta correlación también se ve en las pruebas objetivas tipo PISA (por ejemplo aquí ), lo que lleva a pensar que no es acertado decir que los que son buenos para las letras no lo son para las ciencias y viceversa. Por otro lado, no parece que la inteligencia lógico-matemática esté tan separada de la lingüística. Por lo visto, muchas habilidades matemáticas involucran los mismos procesos que se usan al establecer relaciones gramaticales. Al menos se ha visto que hay áreas del cerebro que tienen que ver con procesos lingüísticos que se activan también cuando hacemos tareas matemáticas. Claro, que después están los gustos y las experiencias de cada cual… e incluso el mercado laboral que hace que los estudiantes más brillantes se inclinen por unas disciplinas y no por otras.

  6. Pues yo vuelvo a disentir 😉
    Efectivamente hay una correlación, fundada en el hecho de que los alumnos buenos en matemáticas suelen ser buenos en todas las materias académicas. Y en que los contenidos de las materias lingüísticas inciden aún hoy en el aspecto estructural del lenguaje. Pero el hecho matemático es, como afirman estudios sobre la mente humana y animal, incluso previo al lenguaje. Claro está que el modo de comunicar las matemáticas sea el lenguaje.
    Es un placer leer otras opiniones después de una evaluación de 4º de E.S.O.

  7. Coquejj, te doy la razón en que el hecho matemático es quizás previo al lenguaje. Este artículo habla de eso. El pensamiento matemático necesita, por un lado, un tipo de representación abstracta independiente del lenguaje que corresponde a una arquitectura especial de nuestro cerebro y, por otro lado, uns estructura simbólica sustentada en nuestras facultades de lenguaje. Sin duda un matemático excepcional tendrá una mente excepcionalmente predispuesta para lo primero, independientemente de sus habilidades lingüísticas y eso marcará la diferencia… pero cuando hablamos de rendimiento escolar (que al fin y al cabo es de donde viene lo de ser de ciencias o de letras) o de la población promedio, ambas cosas están muy relacionadas porque, como tú has dicho, el modo de pensar las matemáticas es el lenguaje. Y de ahí la correlación entre resultados académicos en lengua y matemáticas… supongo.

  8. Estoy bastante de acuerdo con tu último comentario. Solo creo que la intuición matemática, esa que a veces tenemos ante un problema de idea feliz, o al ver de otro modo una conexión entre distintas ideas matemáticas, y que sucede en ocasiones en el entorno de una aula de secundaria, es difícilmente identificable con las tareas mentales propias de las materias de letras. Pero puedo estar equivocado, por supuesto.

  9. Aun reconociendo que el sentido numérico es innato, lo que yo no sé es si la intuición como tal existe o si es el fruto de trabajo previo y de haber aprendido ciertos mecanismos y creado ciertas estructuras mentales. No sé…

  10. De todas maneras, el rechazo a hablar de gente “de letras” o “de ciencias” venía motivado por esa tendencia (muy española, creo) que tienen algunos intelectuales de medio pelo – de esos de suplemento dominical – de vanagloriarse de no tener ni idea de ciencias porque ellos son “de letras”. Parece que no saber quién fue Sartre es risible mientras que no saber calcular un porcentaje es visto como muestra de una mente excelsa que no se entretiene en frivolidades.

    No hace falta decir que no entendí que el comentario de Luis Antonio fuera por ahí ni muchísimo menos.

  11. Pingback: Diagramas de Venn | 30 de diferencia

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